如何设计课堂教学主线
平时观课，发现教学过程零乱无序现象较普遍，没有贯穿课堂始终的教学主线，缺乏有结构的、逻辑关联、层层递进且能启迪学生思维的问题引领，教学的随意性很大，给了学生一笔糊涂账，概念讲不清楚，“思维的教学”更是奢谈。我认为，这是课堂教学效率低、质量差的主要原因。
造成课堂教学缺乏逻辑结构的原因，主要还是教师在“理解数学，理解学生，理解教学”上用功不足，在数学知识的发生发展过程和学生的数学认知过程上缺乏思考，特别是对数学知识的背景、抽象或推理过程缺乏必要的“本源性分析”。我认为，只有对教学内容进行“本源性分析”，并在此基础上构建课堂教学主线，才能使学生在掌握数学知识的过程中，领悟思考方法进而学会学习。
一般而言，课堂教学主线是教师在“理解数学”、“理解学生”的基础上形成的课堂结构和教学线索，其基本表现形式是反映当前数学知识本质、具有逻辑关联性、循序渐进、逐步深入的“问题串”。下面以“二项式定理”的“本源性分析”为例，看看如何构建课堂教学主线。
首先，二项式定理是一个数学公式。归根到底，它是一个多项式乘法问题。
所以，多项式乘法法则是推导二项式定理的“本源”之一，由此可以联系到组合数公式而得出每一项的系数。
其次，这是一个特殊的多项式乘法问题。“特殊”在于它的因式都是相同的“二项式”，由此而决定了其展开式的规律性。
第三，因为多项式乘多项式的结果是多项式，所以分析展开式的规律，应从多项式概念的要素出发：项、次数、项数。
第四，对于“项”的规律，关键看结构特征，具体表现在系数、a的次数、b的次数各有什么规律，因此这一分析也包含了展开式各项次数的规律。
第五，如果不合并同类项，那么展开式有2n项，其中有（n+1）类同类项an-kbk(k=0，1，2，…，n)，所以合并同类项后有（n+1）项。而an-kbk的个数，就是相应的二项式系数，可以根据多项式乘法法则和组合数公式而得到。
上述分析是“理解数学”。下面再看“理解学生”，主要从“认知基础”、“推理过程”和“可能的难点”等方面看。
推导二项式定理，需要的知识有多项式的概念、多项式乘法法则、排列组合的相关知识等；在思想方法上，要有从具体例证中归纳一般结论的意识和能力，要有联系的观点，特别是求二项式系数时，要把求同类项的个数问题转化为组合问题，其关键是明确要完成的“一件事情”是什么；在能力方面，对分析问题的能力、代数推理能力等都有很高的要求。因此，学习二项式定理的主要难点在用联系的观点看问题，把二项式系数的求解化归为组合问题。
二项式定理是数学内部推理的结果。这个推理过程，既有归纳推理，也有演绎推理。归纳推理是从n=2，3，4等具体展开式中发现规律、提出猜想，演绎推理是利用数学归纳法证明猜想。教学设计就是要“还原”这个推理过程，在一些关键点上提出适当的问题，引导学生开展推理活动。具体是
背景引入：今天我们要利用排列组合等知识推导一个用途很广的公式——二项式定理，即(a+b)n的展开式。它是我们在初中学过的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的推广。
请大家先回顾一下多项式的概念，多项式乘法法则，以及我们是如何推出乘法公式的。
设计意图：让学生明确要研究的问题，提取长时记忆中关于多项式乘法的相关概念。
问题1 为了得到二项式定理，我们可以先分析一下n=2，3，4时二项式(a+b)n的展开式的共同特征。
（1）你能从(a+b)2=a2+2ab+b2出发，得到(a+b)3、(a+b)4的展开式吗？
（2）根据多项式的概念，你认为应从哪些角度观察三个公式的共同特征？由此你能得到关于(a+b)n展开式的哪些猜想？
（3）你能用上述递推方法得到(a+b)n的展开式吗？
设计意图：引导学生有目的地观察、有逻辑地思考，而不是“撞大运”。在概念的指引下，观察多项式的“要素”即项数、次数、项及其系数的规律，这就是“玩概念”的含义。这里，教师要在“项的特征”上加强引导，如每一项的次数都是n，a的次数从n到0降幂排列，b的次数从0到n升幂排列等等。
问题2 用上述递推的方法得出展开式的各项系数有困难。能否换个角度看问题呢？
（1）对于(a+b)2=a2+2ab+b2，你能抽象出展开式各项的一般形式吗？
预设：估计学生独立得出a2-kbk(k=0，1，2)有困难，可以安排一个合作学习，必要时也可以由教师讲解。
（2）你能结合多项式乘法的过程，利用组合知识解释ab项的系数为什么等于2吗？
预设：这是本堂课的主要难点所在。教师可以通过如下追问引导学生思考：
追问1 这里要完成的“一件事情”是什么？——得到展开式的ab项。
追问2 如何完成？——根据多项式乘法法则，可以分为两步，先从一个因式中取a，有种取法；再从另一个因式中取b。因为只要a取定，b就唯一取定，所以取法共有种，也即ab的系数是。
（3）类比上述分析，你能用组合数表示(a+b)2的展开式吗？
（4）仿照上述过程，你能推导出(a+b)3，(a+b)4的展开式吗？
（5）你能得出关于(a+b)n的展开式的猜想吗？你能证明吗？
设计意图：教学主线一定要反映学生的认知规律，这个规律也是与数学公式的归纳过程一致的。从具体到抽象而展开，也就是先对n=2，3，4时(a+b)n的展开式进行结构分析，发现规律进而归纳出一般结论。对(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的观察中，最容易得到的规律是展开式的项数、每一项的次数。困难在于项的结构和系数，教师要加强从一般角度看特殊事例的引导，概括各项的共性得出结构an-kbk，这里体现了代数的基本思想——从具体事例中归纳一般结论。系数是最困难的，还是要回到基本概念去，利用多项式乘法概念进行分析：如何得到an-kbk呢？在(a+b)n的n个因式中，从(n－k)个因式中取a，再从剩下的k个因式中取b，而且只要a取定，b就唯一取定。由此能较容易地想到用组合数公式求系数：要完成的“一件事情”是“得到an-kbk”，因为单项式乘法满足交换律，所以是组合问题，相当于从n个因式中取k个b的组合，因此这样的项共有个，这样就得到了展开式的通项。
在教学设计时构建好上述教学主线，并结合课堂实施中生成的资源展开教学，才能使学生真正经历公式的探究过程，实现二项式定理的育人价值。
